题目

已知函数 ， ． 在 上有最大值9，最小值4． （1） 求实数 的值； （2） 若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （3） 若方程 有三个不同的实数根，求实数 的取值范围． 答案： 解：函数 f(x) 的对称轴为 x=1 ，又 a>0 ，所以 f(x) 在 x∈[3，4] 上单调递增，∴{f(3)=32a+1−b=4f(4)=4a+1−b=9  ，解得 {a=2b=0  解： f(x)=x2−2x+1 ， F(x)=x2−2x+1x=x+1x−2 ，令 t=log2x ，则 t∈[12，2] ，不等式 F(log2x)−k⋅log2x≥0 可化为 t+1t−2−kt≥0 ，所以，问题等价于 k≤1t2−2t+1 在 t∈[12，2] 上恒成立，因为 1t∈[12，2] ，则： 1t2−2t+1=(1t−1)2≥0 ，所以： k≤0 解：令 m=|2x−1| ，图像如下：则方程 F(|2x−1| )+λ(1|2x−1| −2)=0 有三个不同的实数根，等价于关于 m 的方程 F(m)+λ(1m−2)=0 有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1．将 m2−2m+1m+λ(1m−2)=0 整理成： m2−2(1+λ)m+1+λ=0 ，若一根等于1，一根大于0且小于1，将 m=1 代入得 λ=0 ，此时， m2−2m+1=0 只有唯一的根，不符要求，所以，情况为：一根大于1，一根大于0且小于1，令 h(m)=m2−2(1+λ)m+1+λ ，则需满足 {h(0)=1+λ>0h(1)=−λ<0 ，解得 λ>0 ．综上所述： λ>0 为所求

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