题目

已知 是二次函数，不等式 <0的解集是（0，5），且 在区间[－1，4]上的最大值是12． （1） 求 的解析式． （2） 作出二次函数y=| |在 [－1，4]上的图像并求出值域． 答案： 解：设二次函数的解析式为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ， 因为不等式 f(x)<0 的解集是 (0,5) ，所以 a>0 ，且 f(0)=f(5)=0 ， 所以函数 f(x) 的对称轴的方程为 x=52 ， 又由函数 f(x) 在 [−1,4] 上的最大值为 12 ，即 f(−1)=12 ， 所以 {f(0)=c=0f(5)=25a+5b+c=0f(−1)=a−b+c=12 ，解得 a=2,b=−10,c=0 ， 即函数 f(x) 的解析式为 f(x)=2x2−10x 。 解：由题意，可得函数 y=|f(x)|=|2x2−10x|={2x2−10x,x∈[−1,0]−2x2+10x,x∈(0,4] ， 函数 y=|f(x)| 的图象如图所示， 由图象可得，函数的最小为 f(0)=0 ，最大值为 f(52)=252 ， 所以函数 f(x) 的值域为 [0,252] 。

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