题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作AE的垂线CF，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D． （1）求证：AE=CD； （2）若AB=4，求BD的长． 　 答案：【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°． ∴∠D=∠AEC． 又∵∠DBC=∠ECA=90°， 且BC=CA， 在△DBC与△ECA中 ∴△DBC≌△ECA（AAS）． ∴AE=CD． （2）由（1）得AE=CD，AC=BC， ∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL） ∵AB=4． ∴AC=4 ∴BD=EC=BC=AC， ∴BD=2．

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