题目

已知函数 的图象过点 ，图象上与 点最近的一个最高点坐标为 . （1） 求函数 的解析式； （2） 若 在区间 上单调递增，求实数 的最大值. 答案： 解：∵图象最高点坐标为 (π3,5) ， ∴ A=5 . ∵ T4=π3−π12=π4 ， ∴ T=π ， ∴ ω=2πT=2 . ∴ f(x)=5sin(2x+φ) ，代入点 (π3,5) ，得 sin(23π+φ)=1 . ∴ 23π+φ=2kπ+π2,k∈Z,φ=−π6+2kπ,k∈Z . 又∵ |φ|<π2 ， ∴ φ=−π6 ， ∴ f(x)=5sin(2x−π6) 解：∵函数 f(x) 的增区间满足 2kπ−π2⩽2x−π6⩽2kπ+π2(k∈Z) ， ∴ 2kπ−π3⩽2x⩽2kπ+2π3(k∈Z) ， ∴ kπ−π6⩽x⩽kπ+π3(k∈Z) ， ∴增区间为 [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) . 由已知 [23π6,a]⊆[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) ，∴ k=4 ，即 [23π6,a]⊆[4π−π6,4π+π3] ， 故实数 a 的最大值为 4π+π3=13π3

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