题目

已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点．（1）求实数k的值及函数f﹣1（x）的解析式；（2）将y=f﹣1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f﹣1（x+﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围． 答案：解：（1）∵A（﹣2k，2）是函数y=f﹣1（x）图象上的点，∴B（2，﹣2k）是函数y=f（x）上的点．∴﹣2k=32+k．∴k=﹣3．∴f（x）=3x﹣3．∴y=f﹣1（x）=log3（x+3）（x＞﹣3）．（2）将y=f﹣1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2f﹣1（x+m﹣3）﹣g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+m）﹣log3x≥1恒成立，所以有x+mx+2m≥3在x＞0时恒成立，只要（x+mx+2m）min≥3．又x+mx≥2m（当且仅当x=mx，即x=m时等号成立），∴（x+mx+2m）min=4m，即4m≥3．∴m≥916．

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