题目

如图，已知 ， 点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点. （1） 当时，求线段的值； （2） 若为正三角形，求四边形面积的最大值. 答案： 解：在△AOB中，由余弦定理得：AB2=OA2+OB2−2OA⋅OB⋅cos∠AOB=102+52−2×10×5×cos120°=100+25−100×(−12)=175.所以AB=57. 解：设∠AOB=α，所以AB2=OA2+OB2−2⋅OA⋅OB⋅cosα=125−100cosα，则S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=12⋅OA⋅OB⋅sinα+34⋅AB2=12×10×5sinα+34(125−100cosα)=25sinα−253cosα+12534=50(12sinα−32cosα)+12534=50sin(α−π3)+12534.所以当α=5π6时，四边形OACB的面积取得最大值50+12534.

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