题目

用数学归纳法证明凸n边形的对角线的条数f(n)=n(n-3)(n≥3). 答案：分析：证明几何问题,一定要弄清从n=k到n=k+1时,新增加的量是多少.一般地,证明第二步时,常用的方法是加一法,即在原来k的基础上,再增加1个,也可以从k+1个中分出1个来,剩下的k个利用假设.证明：(1)当n=3时,f(3)=0,因为三角形没有对角线,所以命题成立.(2)假设n=k时(k≥3),f(k)=k(k-3)成立,当n=k+1时,凸k+1边形由原来的k个顶点变为k+1个顶点,由几何知识可知对角线条数增加k-1条,即f(k+1)=f(k)+k-1=k(k-3)+k-1=(k2-3k+2k-2)= (k+1)(k-2)= (k+1)［(k+1)-3］,所以当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,命题对于任何n∈N*,且n≥3都成立.

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