题目

如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． （1） 求该自行车手的骑行速度； （2） 若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由． 答案： 解：由题意，知：OA=20 2 ，OC=5 13 ， ∠AOC=α，sinα= 126 ．由于0°＜α＜90°，所以cos= 1−(126)2 = 52626 ．      由余弦定理，得AC=V=5 5 ．  所以该自行车手的行驶速度为 5513 =15 5  （千米/小时） 解：如图， 设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC= OA2+AC2−OC22OC⋅AC = 202×2+52×5−52×132×202×55 = 31010 ，从而 sin∠OAC= 1−910 = 1010 ．       在△AOM中，由正弦定理，得：OM= OAsin∠OAMsin(45∘−∠OAM) = 202×101022(31010−1010) =20，由于OE=27.5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5．过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离． 在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）=7.5× 55 = 352 ＜3.5．所以该自行车手会进入降雨区．

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