题目

已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1，），满足条件 ∥ ，（1）求数列{an}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x ，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）= ． ①求数列{bn}的通项公式，②设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．答案：解：由向量 a→ =（Sn，1）， b→ =（2n﹣1， 12 ）， a→ ∥ b→ ，可得 12 Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2，当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，当n=1时，a1=S1=2，满足上式．则有数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N* 解：①f（x）=（ 12 ）x，b1=1，f（bn+1）= 1f(−bn−1) ．可得 (12)bn+1 = 1(12)−1−bn =（ 12 ） (12)1+bn ，即有bn+1=bn+1，可得{bn}为首项和公差均为1的等差数列，即有bn=n；②Cn= bnan = n2n ，前n项和Tn=1• 12 +2•（ 12 ）2+…+（n﹣1）•（ 12 ）n﹣1+n•（ 12 ）n， 12 Tn=1•（ 12 ）2+2•（ 12 ）3+…+（n﹣1）•（ 12 ）n+n•（ 12 ）n+1，相减可得， 12 Tn= 12 +（ 12 ）2+…+（ 12 ）n﹣1+（ 12 ）n﹣n•（ 12 ）n+1= 12(1−12n)1−12 ﹣n•（ 12 ）n+1，化简可得，前n项和Tn=2﹣ n+22n

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