题目

如图所示，四棱柱 中，底面 是以 为底边的等腰梯形，且 . （I）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求直线AB与平面 所成角的正弦值. 答案：解：（Ⅰ） △ABD 中， AB=4 ， AD=2 ， ∠DAB=60° ，由余弦定理得 BD=AB2+AD2−2AB⋅ADcos60∘=23 ， 则 AD2+BD2=AB2 ，即 AD⊥BD ， 而 AD⊥D1D, BD∩D1D=D ，故 AD⊥ 平面 D1DBB1 ， 又 AD⊂ 面ABCD，所以平面 D1DBB1⊥ 平面ABCD. （Ⅱ）取BD的中点O，由于 D1D=D1B ，所以 D1O=BD ， 由（Ⅰ）可知平面 D1DBB1⊥ 面ABCD，故 D1O⊥ 面ABCD. 由等腰梯形知识可得 DC=CB ，则 CO⊥BD ， D1O=DD12−DO2=4−3=1 ， 以O为原点，分别以 OB,OC,OD1 为 x,y,z 的非负半轴建立空间直角坐标系， 则 A(−3,−2,0),B(3,0,0),C(0,1,0),D(−3,0,0),D1(0,0,1) ， 则 AB→=(23,2,0),BB1→=DD1→=(3,0,1),BC→=(−3,1,0) 设平面 B1BC 的法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {n1⇀⋅BB1⇀=0n1⇀⋅BC⇀=0⇒{3x+z=0−3x+y=0 ， 令 x=1 ，则 y=3,z=−3 ，有 n→=(1,3,−3) ， 所以， sinθ=|cos<n→,AB→>|=|n→⋅AB→||n→|⋅|AB→|=23+23+07×4=217 ， 即直线AB与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 217 .

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