题目

已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′所有对角线都相等,求证:平行六面体ABCD—A′B′C′D′是长方体. 答案：证明:∵平行六面体的对角面是平行四边形,又平行六面体ABCD—A′B′C′D′的对角线都相等,∴四边形BB′D′D是矩形,从而有B′B⊥BD.同理,四边形AA′C′C是矩形,于是A′A⊥AC,又A′A∥B′B,故B′B⊥AC,如右图.∵AC与BD相交,∴B′B⊥平面ABCD.∴平行六面体ABCD—A′B′C′D′是直平行六面体.同理,四边形A′BCD′是矩形,四边形AB′C′D是矩形.∴BC⊥A′B,B′C′⊥AB′.又∵B′C′∥BC,∴BC⊥AB′.又AB′和A′B相交.∴BC⊥平面ABB′A′,BC⊥AB.∴平行四边形ABCD为矩形.综上所述,平行六面体ABCD—A1B1C1D1为长方体.

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