题目

在直角坐标系 中，记函数 的图象为曲线 ，函数 的图象为曲线 . （1） 比较 和1的大小，并说明理由； （2） 利用单调性的定义证明函数 在定义域上单调递增； （3） 试判断曲线 和 交点的个数，并说明理由. 答案： 函数 f(x)=log3(9−3x) ， 则 f(1)=log3(9−3)=log36>log33=1 ， 所以 f(1)>1 ； 函数 g(x)=x−2 的定义域为 [2，+∞) ， 任取 x1，x2∈[2，+∞) ，并设 2≤x1<x2 ， 则 g(x1)−g(x2)=x1−2−x2−2=x1−x2x1−2+x2−2 ， 因为 2≤x1<x2 ， 所以 x1−x2<0 ， x1−2+x2−2>0 ， 故 g(x1)−g(x2)<0 ， 则 g(x1)<g(x2) ， 所以 g(x) 在 [2，+∞) 上单调递增； 函数 f(x)=log3(9−3x) ， 则 9−3x>0 ，即 3x<9=32 ， 所以 x<2 ， 故函数 f(x) 的定义域为 (−∞，2) ， 由（2）可知，函数 g(x) 的定义域为 [2，+∞) ， 所以曲线 C1 和 C2 的图象没有交点， 故曲线 C1 和 C2 交点的个数为0个.

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