题目

一半径为R的薄圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的中心轴线平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒可绕其中心轴线转动，圆筒的转动方向和角速度大小可以通过控制装置改变．一不计重力的负电粒子从小孔M沿着MN方向射入磁场，当筒以大小为ω0的角速度转过90°时，该粒子恰好从某一小孔飞出圆筒． （1） 若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，求该粒子的荷质比和速率分别是多大？ （2） 若粒子速率不变，入射方向在该截面内且与MN方向成30°角，则要让粒子与圆筒无碰撞地离开圆筒，圆筒角速度应为多大？ 答案： 解：若粒子沿MN方向入射，当筒转过90°时，粒子从M孔（筒逆时针转动）或N孔（筒顺时针转动）射出，如图，由轨迹1可知半径：r=R  由 qvB=mv2R ，粒子运动周期 T=2πRv=2πmqB  筒转过90°的时间： t=π2ω0=π2ω0 ，又 t=T4=πm2qvB     联立以上各式得：荷质比 qm=ω0B ，      粒子速率：v=ω0R 解：若粒子与MN方向成30°入射，速率不变半径仍为R，作粒子轨迹2如图轨迹2圆心  为O’，则四边形MO’PO为菱形，可得 ∠MO′P=∠MOP=2π3 ，所以 ∠NOP=π3  则粒子偏转的时间： t=2π32πT=T3 ；又 T=2πω0 ；      得： t=2π3ω0  由于转动方向与射出孔不确定，讨论如下：（ⅰ）当圆筒顺时针转动时，设筒转动的角速度变为ω1，  若从N点离开，则筒转动时间满足 t=π3+2kπω1 ，得： ω1=(6k+1)2ω0 其中k=0，1，2，3…  若从M点离开，则筒转动时间满足 t=π3+(2k+1)πω1 ，得： ω1=(6k+4)2ω0 其中k=0，1，2，3…；    综上可得 ω1=(3n+1)2ω0 其中n=0，1，2，3…（ⅱ）当圆筒逆时针转动时，设筒转动的角速度变为ω2，  若从M点离开，则筒转动时间满足 t=2π3+2kπω2 ，得： ω2=(3⋅2k+2)2ω0   其中k=0，1，2，3…  若从N点离开，则筒转动时间满足 t=2π3+(2k+1)πω2 ，得： ω2=[3(2k+1)+2]ω0 其中k=0，1，2，3…     综上可得 ω2=3n+22ω0 其中n=0，1，2，3…  综上所述，圆筒角速度大小应为 ω1=3n+12ω0    或者 ω2=3n+22ω0 其中n=0，1，2，3…

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