题目

二次函数 满足 ，且 ， （1） 求 的解析式； （2） 在区间 上 的图象恒在 图象的上方，试确定实数 的范围． 答案： 解：由题设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ∵ f(0)=1 ∴ c=1 ，又 f(x+1)−f(x)=2x ∴ a(x+1)2+b(x+1)+c−(ax2+bx+c)=2x ∴ 2ax+a+b=2x ∴ {2a=2a+b=0 ，∴ {a=1b=−1 ∴ f(x)=x2−x+1 解：当 x∈[−1,1] 时， y=f(x)=x2−x+1 的图象恒在 y=2x+m 图象上方 ∴ x∈[−1,1] 时 x2−x+1>2x+m 恒成立，即 x2−3x+1−m>0 恒成立 令 g(x)=x2−3x+1−m ， x∈[−1,1] 时， g(x)min=g(1)=12−3×1+1−m=−1−m 故只要 m<−1 即可， 实数 m 的范围 m<−1

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