题目

如图，椭圆C：（） 的左顶点与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在C上，PF⊥x轴，AB//OP， ． （1） 求C的方程； （2） 过F的直线l交椭圆于M，N两点，坐标平面上是否存在定点Q，使得是定值？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由． 答案： 解：由题可得a2+b2=3①由题PF⊥x轴，可得P(c，b2a)，因为AB∥OP，所以ba=b2ac②b2+c2=a2③由①②③解得：a=2，b=1，所以，C的方程为x22+y2=1． 解：当直线斜率不为0时，设直线l：x=my+1，代入x22+y2=1得(m2+2)y2+2my−1=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，设定点Q(x0，y0)，QM→=(my1+1−x0，y1−y0)，QN→=(my2+1−x0，y2−y0)，QM→⋅QN→=(m2+1)y1y2+[m(1−x0)−y0](y1+y2)+(1−x0)2+y02=(m2+1)×−1m2+2+[m(1−x0)−y0]×−2mm2+2+(1−x0)2+y02=(−3+2x0)m2+2y0m−1m2+2+(1−x0)2+y02，要使QM→⋅QN→是定值，则{2y0=0−3+2x01=−12，解得{y0=0x0=54此时Q(54，0)，QM→⋅QN→=−12+(1−54)2=−716．当直线l与x轴重合时，M(−2，0)，N(2，0)，QM→=(−2−54，0)，QN→=(2−54，0)则QM→⋅QN→=−716，综上所述，坐标系平面上存在定点Q(54，0)，使得QM→⋅QN→为定值−716.

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