题目

已知函数 ， . （1） 求的值域； （2） 若关于的方程在上有唯一的一个实数根，求实数的取值范围. 答案： 解：f(x)=1−cos(π2+2x)−3cos2x=sin2x−3cos2x+1=2sin(2x−π3)+1，∵x∈[π4，π2]，∴2x−π3∈[π6，2π3]，∴12≤sin(2x−π3)≤1，∴f(x)=2sin(2x−π3)+1∈[2，3].所以，f(x)的值域为[2，3] 解：由f(x)−m=2，即2sin(2x−π3)+1−m=2，得m+1=2sin(2x−π3).令t=2x−π3∈[π6，2π3]，则直线y=m+1与函数y=2sint在区间[π6，2π3]上的图象有唯一的公共点，如下图所示：由图象可知，当1≤m+1<3或m+1=2时，即当0≤m<3-1或m=1时，直线y=m+1与函数y=2sint在区间[π6，2π3]上的图象有唯一的公共点.因此，实数m的取值范围是[0，3−1)∪{1}.

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