题目

如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a； 为了要让铁片能穿过直径为 的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）； （1） 如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ， ①则此时铁片是什么形状；②给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔； （2） 如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片； ①当BE=DF= 时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围． 答案： ①菱形， ②如图，过点M作MG⊥NP于点G，∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，∴MN=NP=PQ=QM，∴四边形MNPQ是菱形，∵ SMNPQ=12SABCD=12×2a×a=a2 ，MN= (12a)2+a2=52a ，∴MG= SMNPQMN=255a<8910a ，∴此时铁片能穿过圆孔； ①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K， 显然AB= a>8910a ，故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，∵BE=AK= 15a ，EK=AB=a，AF= AD−DF=95a ，∴KF= AF−AK=85a ，EF= a2+(85a)2=895a ，∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，∴△AHF∽△EKF，∴ AHEK=AFEF ，可得AH= 98989a>8910a ，∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔；② 0<BE<39−38964a 或 39+38964a<BE<2a ．

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