题目

已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ，若动点 满足 . （1） 求动点 的轨迹 的方程； （2） 过点 的直线 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 的值. 答案： 解：设 M(x,y),P(x0,y0) ，则 Q(x0,0) ，所以 OM=(x,y),OP=(x0,y0),OQ=(x0,0) ，由 OM⇀=13OP⇀+23OQ⇀ 化简得 x0=x,y0=3y ，因为 x02+y02=18 ，代入得 x218+y22=1 ，即为 M 的轨迹为椭圆方程. 解：由（1）知，点 E(−4,0) 为椭圆 C 的左偏点，将直线 x=my−4(m≠0) 被代入椭圆方程消去 x 得 (m2+9)y2−8my−2=0,Δ=64m2+8(m2+9)>0 ，设 A(x1+y1),B(x2,y2) ，则有 y1+y2=8mm2+9,y1y2=−2m2+9 ，则 x1+x2=m(y1+y2)−8=−72m2+9 ，所以线段 AB 的中点坐标为 (−36m2+9,4mm2+9) 所以线段 AB 的垂直平分线所在的直线方程为 y−4mm2+9=−m(x+36m2+9) 令 y=0 得 x=−32m2+9 ，即 D(−32m2+9,0) ，所以 DE=−32m2+9+4=4(m2+1)m2+9 AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=(m2+1)|y1+y2|=62(m2+1)m2+9 所以 DEAB=462=23

查看本题答案和解析