题目

（本小题满分13分） 三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为， ∠BAC=90°,⊥平面ABC,  =,AB=,AC=2, =1,=. (1)证明:平面D⊥平面BC； (2)求二面角A——B的余弦值. 答案：方法一  (1)证明  ∵A1A⊥平面ABC,BC平面ABC, ∴A1A⊥BC.  ……………………………………………………………………1分 在Rt△ABC中,AB=,AC=2,∴BC=. ∵BD∶DC=1∶2,∴BD=.又==, ∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°, 即AD⊥BC.      ……………………………………………………………………3分 又A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD. ………………………………………………4分 ∵BC平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. ……………………………5分 (2)解  如图①,作AE⊥C1C交C1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC1A1, ∴AE是BE在平面ACC1A1内的射影.    ………………………………6分 由三垂线定理知BE⊥CC1, ∴∠AEB为二面角A—CC1—B的平面角. ………………………………7分                                              过C1作C1F⊥AC交AC于F点, 图①   则CF=AC-AF=1, C1F=A1A=,∴∠C1CF=60°. …………………………………………9分 在Rt△AEC中, AE=ACsin60°=2×=, 在Rt△BAE中,tan∠AEB===, ∴cos∠AEB=, …………………………………………………………12分 即二面角A—CC1—B余弦值为.………………………………………13分 方法二  (1)  证明  如图②,建立空间直角坐标系, 图② 则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0), A1(0,0,),C1(0,1, ). ……………………………………………………1分 ∵BD∶DC=1∶2,∴=, ∴D点坐标为, ∴=, =(-,2,0),=(0,0,).………………………3分 ∵·=0，·=0， ∴BC⊥AA1，BC⊥AD.又A1A∩AD=A，………………………………4分 ∴BC⊥平面A1AD.又BC平面BCC1B1， ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.………………………………………………5分 1的法向量为n=(x,y,z), 则·n=0，·n=0， …………………………………………………6分 ∴ ∴x=y，z=，可取y=1，则n=，…………………9分 cos〈m,n〉= =,  即二面角A—CC1—B的余弦值为. ……………………………………13分

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