题目

阅读与思考： 如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日星期日． 过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：如图1，点P为直线l外一点， 求作：直线PQ ， 使得PQ∥l ． 今天，我们组的小明和小红的作法和我不同． 小明：如图2，①在直线l上取一点A ， 作射线PA ， 以点A为圆心，AP长为半径画弧，交射线PA于点B； ②直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC ， 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交射线BC于点Q； ③作直线PQ ， 则直线PQ就是所求作的直线． 小红：如图3，①在直线l上取A ， B两点，作射线AP； ②作∠PAB的角平分线AC； ③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AC于点Q； ④作直线PQ ． 则直线PQ就是所求作的直线． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？ 任务： （1） 填空：小明的作法依据的一个数学定理是； （2） ①使用直尺和圆规，根据小红的作法补全图3；（保留作图痕迹） ②根据小红的操作过程，证明PQ∥l ． 答案： 【1】三角形中位线定理 解：①如图，直线PQ即为所求作． 理由：由作图可知，PA＝PQ， ∴∠PAQ＝∠PQA， ∵AC平分∠PAB， ∴∠PAQ＝∠QAB， ∴∠PQA＝∠QAB， ∴PQ∥l．

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