题目

已知椭圆C： =1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为 -1．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足 + =t （O为坐标原点）．当|AB|=  时，求实数t的值． 答案：解：（Ⅰ）由题意知a﹣c= 2 ﹣1；又因为b= =1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为 +y2=1．（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由 得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2 ．x1+x2= ，x1x2= ．又由|AB|= 253 ，得 |x1﹣x2|= 253 ，即 = 253 可得 又由 OA→ + OB→ =t OP→ ，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则 = ， =  故 ，即16k2=t2（1+2k2）．得，t2= 83 ，即t=±

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