题目

已知函数 ． （1） 若在R上是增函数，求实数a的取值范围； （2） 当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； （3） 若存在三个实数 ， 满足 ， 求实数a的取值范围． 答案： 解：∵f(x)=xex−ax(a∈R)，则f′(x)=(1+x)ex−a，若y=f(x)在R上是增函数，即f′(x)≥0恒成立，得a≤(1+x)ex，设g(x)=(1+x)ex，g′(x)=(x+2)ex，g′(x)>0得x>−2，g′(x)<0得x<−2，即g(x)在(−∞，−2)递减，在(−2，+∞)递增，则g(x)≥g(−2)=−1e2，故a≤−1e2. 解：当a=1时，f′(x)=(1+x)ex−1，f′′(x)=(x+2)ex，f′′(x)>0得x>−2，则f′(x)递增，f′(0)=0，则x∈(−2，0)时，f′(x)<0，x∈(0，+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(−2，0)上递减，在(0，+∞)上递增，故x=0是函数的极小值点. 解：∵f′(x)=(1+x)ex−a，令f′(x)=0，得(1+x)ex=a，由（1）得g(x)=a，又g(x)在(−∞，−2)递减，在(−2，+∞)递增，则g(x)≥g(−2)=−1e2，且x→−∞时，g(x)→0，g(−1)=0， 当x<−1时，g(x)<0，若存在三个实数x1<x2<x3，满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，故当g(x)=a有两根x4，x5使得x4<−2<x5<−1，故x<x4或x>x5时，g(x)>a，此时f(x)递增，x4<x<x5时，g(x)<a，此时f(x)递减，且x→+∞时，f(x)→+∞，则必有f(x)先增后减再增，故必存在x1<x2<x3，满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，故g(−2)<a<0，即−1e2<a<0.

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