题目

已知函数 ． （1） 若有两个极值点，求实数a的取值范围； （2） 当时，证明： ． 答案： 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=lnx−2ax+1， 由题意f(x)=0在(0，+∞)上有两解， 即lnx−2ax+1=0，即2a=lnx+1x有两解． 令g(x)=lnx+1x(x>0)，即g(x)的图象与直线y=2a有两个交点． g(x)=−lnxx2=0，得x=1， 当x∈(0，1)时，g(x)>0，g(x)递增； 当x∈(1，+∞)时，g(x)<0，g(x)递减， ∴g(x)max=g(1)=1，g(1e)=0． x→0时，g(x)→−∞；x→+∞时，g(x)→0， ∴0<2a<1，∴0<a<12，∴a的取值范围是(0，12)． 证明：当a=0时，f(x)=xlnx+2， 即证xlnx+2>x−2x，即证xlnx+2−x+2x>0， 令h(x)=xlnx+2−x+2x(x>0)，h(x)=lnx−2x2， 令m(x)=lnx−2x2，则m(x)=1x+4x3， 当x>0时，m′(x)>0，∴h(x)在(0，+∞)递增． h(1)=−2<0，h(e)=1−2e2>0， ∴存在唯一的x0∈(1，e)，使得h(x0)=lnx0−2x02=0， 当x0∈(0，x0)时，h(x)<0，h(x)递减； 当x∈(x0，+∞)时，h(x)>0，h(x)递增， ∴h(x)min=h(x0)． 又∵x0∈(1，e)，h(x0)=0，∴lnx0−2x02=0， ∴h(x0)=x0lnx0+2−x0+2x0=2x0+2−x0+2x0=2−x0+4x0>2−e+4e>0， ∴h(x)>0，∴f(x)>x−2x．

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