题目

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y= x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA． （1） 求点A的坐标和∠AOB的度数； （2） 若将抛物线y= x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由； （3） 在（2）的情况下，判断点C′是否在抛物线y= x2+2x上，请说明理由． （4） 若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标为（ ， ），对称轴是直线x= ．） 答案： 解：∵由y= 12 x2+2x得，y= 12 （x+2）2﹣2，∴抛物线的顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），令 12 x2+2x=0，解得x1=0，x2=﹣4，∴点B的坐标为（﹣4，0），过点A作AD⊥x轴，垂足为D，∴∠ADO=90°，∴点A的坐标为（﹣2，﹣2），点D的坐标为（﹣2，0），∴OD=AD=2，∴∠AOB=45°； 解：四边形ACOC′为菱形．由题意可知抛物线m的二次项系数为 12 ，且过顶点C的坐标是（2，﹣4），∴抛物线的解析式为：y= 12 （x﹣2）2﹣4，即y= 12 x2﹣2x﹣2，过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，∴OC= OE2+EC2=22+42 =2 5 ，同理，AC=2 5 ，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，故四边形ACOC′为菱形． 解：如图1，点C′不在抛物线y= 12 x2+2x上．理由如下：过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，∴∠COH=∠C′OG，∵CE∥OH，∴∠OCE=∠C′OG，又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，∴△CEO≌△C′GO，∴OG=CE=4，C′G=OE=2，∴点C′的坐标为（﹣4，2），把x=﹣4代入抛物线y= 12 x2+2x得y=0，∴点C′不在抛物线y= 12 x2+2x上； 解：存在符合条件的点Q．∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，∴设Q（a， 12 （a﹣2）2﹣4），∵OC为该四边形的一条边，∴OP为对角线，∴ 12(a−2)2−4−42 =0，解得a1=6，a2=﹣2（舍去），∴点Q的坐标为（6，4）．

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