题目

已知 . （1） 证明 在 处的切线恒过定点； （2） 若 有两个极值点，求实数a的取值范围. 答案： 解：∵ f′(x)=2(lnx+x)−axexx ，所以 f′(1)=2−ae 又因为 f(1)=2−ae ， 所以 f(x) 在 x=1 处的切线方程 y−(2−ae)=(2−ae)(x−1) 即 y=(2−ae)x 所以 f(x) 在 x=1 处的切线恒过定点 (0,0) . 解：∵ f′(x)=2(lnx+x)−axexx ，其中 x>0 ， 设 g(x)=2(lnx+x)−axex ， 则 g′(x)=(x+1)(2−axex)x ， 当 a≤0 时， g′(x)>0 ， 则 g(x) 在 (0,+∞) 单调递增， g(x) 在 (0,+∞) 上至多有一个零点， 即 f′(x) 在 (0,+∞) 上至多有一个零点， ∴ f(x) 至多只有一个极值点，不合题意，舍去. 当 a>0 时，设 h(x)=2−axex ， h′(x)=−a(x+1)ex ， ∴ h′(x)<0 ，∴ h(x) 在 (0,+∞) 上单调递减， ∵ h(0)=2>0 ， h(2a)=2−2e2a<0 ， ∴ ∃0∈(0,2a) ，使得 h(x0)=0 ，即 ax0ex0=2 2， 当 x∈(0,x0) 时， h(x)>0 ，此时 g′(x)>0 ， ∴ g(x) 在 (0,x0) 单调递增， 当 x∈(x0,+∞) 时， h(x)<0 ，此时 g′(x)<0 ， ∴ g(x) 在 (x0,+∞) 单调递减， ∴ g(x) 在 (0,+∞) 有极大值 g(x0) ， 即 [g(x)]max=2(lnx0+x0)−ax0ex0 =2(lnx0+x0)−2=2(lnx0+x0−1) 若 lnx0+x0−1≤0 ，则 g(x)≤0 ， ∴ f′(x)≤0 ， f(x) 在 (0,+∞) 单调递减，不合题意， 若 lnx0+x0−1>0 ， 设 p(x)=lnx+x ， p′(x)=1x+1>0 ， ∴ p(x) 在 (0,+∞) 单调递增， 又 p(1)=1 ，∴ x0>1 ， ∵ (xex)′=(x+1)ex>0 ， ∴ y=xex 在 (0,+∞) 单调递增， ∴ 2a=x0ex0>e ，即 0<a<2e ， 此时 g(x0)>0 ， f′(x0)>0 ∵ g(1e)=2(−1+1e)−a1ee1e=−2+2e−ae1e−1<0 ， g(x) 在 (0,x0) 单调递增， g(x0)>0 ∃x1∈(1e,x0) ，使得 g(x1)=0 ， 当 x∈(0,x1) 时， g(x)<0 ， ∴ f′(x)<0 ， f(x) 在 (0,x1) 上单调递减， 当 x∈(x1,x0) 时， g(x)>0 ， ∴ f′(x)>0 ， f(x) 在 (x1,x0) 上单调递增， ∴ f(x) 在 x=x1 处取得极小值. 又∵ ex≥x+1>x−1≥lnx ， ex≥x+1>x ∴ g(4a)=2(ln4a+4a)−4e4a=2[(ln4a−e4a)+4a−e4a]<0 ∵ g(x) 在 (x0,+∞) 单调递减， g(x0)>0 ， 又∵ x0∈(0,2a) ，∴ 4a>x0 ， ∴ ∃x2∈(x0,4a) ，使得 g(x2)=0 ， 当 x∈(x0,x2) 时， g(x)>0 ， ∴ f′(x)>0 ， f(x) 在 (x0,x2) 上单调递增， 当 x∈(x2,+∞) 时， g(x)<0 ， ∴ f′(x)<0 ， f(x) 在 (x2,+∞) 上单调递减， ∴ f(x) 在 x=x2 处取得极大值. 综上所述，若 f(x) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围为 (0,2e) .

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