题目

已知函数 . （1） 判断函数 的单调性,不需要说明理由． （2） 判断函数 的奇偶性，并说明理由． （3） 对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 答案： 解： f(x)=2x−12x+1=1−22x+1 为 R 上的增函数 解：根据题意，函数 f(x)=2x−12x+1 ，其定义域为 R ， 有 f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−(2x−12x+1)=−f(x) ， 则函数 f(x) 为奇函数 解：由（2）的结论， f(x) 为 R 上的奇函数， 则 f(x2+m+6)+f(−2mx)>0 可化为： f(x2+m+6)>−f(−2mx) ， 即 f(x2+m+6)>f(2mx) ， 又由 f(x) 在 R 上是单调递增的函数，则有 x2+m+6>2mx ，在 x∈[−2,2] 恒成立； 即 x2−2mx+m+6>0 ，在 x∈[−2,2] 恒成立， 设 g(x)=x2−2mx+m+6 ， x∈[−2,2] ，则等价于 g(x)min>0 即可． 即 g(x)=x2−2mx+m+6=(x−m)2−m2+m+6 ， 当 m≤−2 时，函数 g(x) 在 x∈[−2,2] 上单调递增，其最小值为 g(−2)=5m+10>0 ，得 m>−2 ，不成立； 当 −2<m<2 时，函数 g(x) 在 x∈[−2,m] 上单调递减，在 x∈[m,2] 上单调递增，其最小值为 g(m)=−m2+m+6>0 ，解得 −2<m<3 ，所以 −2<m<2 ； 当 m≥2 时，函数 g(x) 在 x∈[−2,2] 上单调递减，其最小值为 g(2)=−3m+10>0 ，可得 m<103 ，所以 2≤m<103 综上可得： m 的取值范围为： −2<m<103

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