题目

已知，. （1）当时，求函数图象在处的切线方程； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 答案：【详解】解：（1）当时，，，则. 又因为，所以函数图象在处的切线方程为， 即. （2）因为 所以  ， 且.因为，所以. ①当时，即， 因为在区间上恒成立，所以在上单调递增. 当时，， 所以满足条件. ②当时，即时， 由，得， 当时，，则在上单调递减， 所以时，，这与时，恒成立矛盾. 所以不满足条件. 综上，的取值范围为. （3）①当时， 因为在区间上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，所以不满足条件. ②当时，，所以函数的定义域为， 由，得， 列表如下： ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于在是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以不满足条件. ③当时，由，得. 列表如下： ↘ 极小值 ↗ 此时仅存在极小值，不合题意， 所以不满足条件. ④当时，函数的定义域为， 且，. 列表如下： ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ 所以存在极大值和极小值， 此时 因为， 所以，，，， 所以，即， 所以满足条件. 综上，所以的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程,考查利用导数研究极值和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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