题目

如图，圆M： ，点 为直线l： 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B． （1） 若 ，求切线所在直线方程； （2） 求 的最小值； 答案： 解：由题意，切线斜率存在， 可设切线方程为 y−1=k(x+1) ， 即 kx−y+k+1=0 ， 则圆心M到切线的距离 d=|3k+1|k2+1=1 ， 解得 k=0 或 −34 ， 故所求切线方程为 y=1 ， 3x+4y−1=0 ； 解：连接 PM ， AB 交于点N， 设 ∠MPA=∠MAN=θ ， 则 |AB|=2|AM|cosθ=2cosθ ， 在 RtΔMAP 中， sinθ=|AM||PM|=1|PM| ， 因为 |PM|≥3 ， ∴(sinθ)max=13 ， ∴(cosθ)min=1−(sinθ)2max=223 ， ∴|AB|min=2(cosθ)min=423 . 故 |AB| 的最小值为 423 .

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