题目

如图，四边形 ABCD 中，∠C=90°，AD⊥DB，点 E 为 AB 的中点，DE∥BC． （1） 求证：BD 平分∠ABC； （2） 连接EC，若∠A= ，DC=3，求EC的长． 答案： 证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点， ∴DE＝BE＝ 12 AB． ∴∠1＝∠2． ∵DE∥BC， ∴∠2＝∠3． ∴∠1＝∠3． ∴BD平分∠ABC． 解：∵AD⊥DB，∠A＝30°， ∴∠1＝60°． ∴∠3＝∠2＝60°． ∵∠BCD＝90°， ∴∠4＝30°． ∴∠CDE＝∠2＋∠4＝90°． 在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝3， ∴DB＝ DCsin60°=23 ． ∵DE＝BE，∠1＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝DB＝ 23 ． ∴EC＝ DE2+DC2=21 ．

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