题目

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1 ， y1），点Q的坐标为（x2 ， y2），且x1≠x2 ， y1≠y2 ． 给出如下定义：如果线段PQ是某个周长为t的矩形的一条对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么称点P和点Q互为“t阶矩形点”．如图，点P（1，1）和点Q（3，2）互为“6阶矩形点”． （1） 在点A（1，3），B（2，﹣2），C（3，2）中，与点O互为“8阶矩形点”的点是 ； （2） 若第一象限内有一点N与点O互为“8阶矩形点”，求线段ON长度的最小值； （3） 若点M在直线y＝x上，且与点M互为“10阶矩形点”的点中恰有2个点与点O互为“8阶矩形点”，记点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围． 答案： 【1】A，B 解：设N（a，b）（a＞0，b＞0）， ∴ON＝a2+b2 ∵点N与点O互为“8阶矩形点”， ∴2a+2b＝8， ∴a+b＝4， ∴b＝4﹣a， ∴ON＝a+(4−a)2＝2a2−8a+16＝2(a2−4a)+16＝2(a−2)2+8； ∴当a＝2时，线段ON的长度的最小值为8＝22； 满足条件的m的取值范围为﹣4.5≤m＜﹣0.5或0.5≤m＜4.5

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