题目

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为         ，数量关系为         。②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。 答案：解：（1）①CF⊥BD，CF=BD  ②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90°   ∴∠BAD=∠CAF又  BA=CA      AD=AF∴△BAD≌△CAF∴CF=BD     ∠ACF=∠ACB=45°∴∠BCF=90°     ∴CF⊥BD         （2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G则∵∠ACB=45°     ∴AG=AC      ∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC          AD=AF       ………（1分）∴△GAD≌△CAF（SAS）  ∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°     ∴CF⊥BC        （3）如图：作AQ⊥BC于Q∵∠ACB=45°    AC=4       ∴CQ=AQ=4∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ∽△DPC                               ∴=设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x则=                                     ∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1当x=2时，PC最长，此时PC=1                

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