题目

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ． （Ⅰ）求A；（Ⅱ）若 ， 且为锐角三角形，求的取值范围． 答案：解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA−2ccosA=0，∴由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA−2sinCcosA=0，∴sin(A+B)−2sinCcosA=0，∵A+B=π−C，∴sin(A+B)=sin(π−C)=sinC，∴sinC−2sinCcosA=0，又C为三角形的内角，sinC≠0，∴1−2cosA=0，∴cosA=12，又A为三角形内角，∴A=π3；（Ⅱ）设△ABC的外接圆半径为R，则asinA=2R⇒2R=43，∴由正弦定理得b=2RsinB=43sinB，c=2RsinC=43sinC，∴b+2c=43(sinB+2sinC)=43[sinB+2sin(A+B)]=43(2sinB+3cosB)=473sin(B+φ) （其中cosφ=27，sinφ=37，且π6<φ<π4），因为△ABC为锐角三角形，则{0<B<π20<2π3−B<π2，解得π6<B<π2，所以π6+φ<B+φ<π2+φ，所以sin(π2+φ)≤sin(B+φ)≤1，即27≤sin(B+φ)≤1，所以83≤473sin(B+φ)≤473，即833≤b+2c≤4213.

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