题目

在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占 ，统计成绩后得到如下 列联表： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 4 19 线上学习时间不足5小时 合计 45 （下面的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式 其中 ） （1） 请完成上面 列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”； （2） ①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是 ，求 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差. 答案： 解： 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 15 4 19 线上学习时间不足5小时 10 16 26 合计 25 20 45 ∵K2=45(15×16−10×4)225×20×19×26≈7.29>6.635 ∴ 有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”. 解：①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取 9×2045=4 人， X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X=0)=C44C204 ， P(X=1)=C43C161C204 ， P(X=2)=C42C162C204 P(X=3)=C41C163C204 ， P(X=4)=C164C204 ， 所以， X 的分布列： X 0 1 2 3 4 P C44C204 C43C161C204 C42C162C204 C41C163C204 C164C204 ②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为 1525=0.6 ，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为 Y ，则 Y∼B(20,0.6) ， 故 E(Y)=20×0.6=12 ， D(Y)=20×0.6×(1−0.6)=4.8

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