题目

已知函数 ． （1） 讨论 的单调性； （2） 从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点 ① ； ② ． 答案： 由函数的解析式可得： f'(x)=x(ex−2a) ， 当 a≤0 时，若 x∈(−∞，0) ，则 f'(x)<0，f(x) 单调递减， 若 x∈(0，+∞) ，则 f'(x)>0，f(x) 单调递增； 当 0<a<12 时，若 x∈(−∞，ln(2a)) ，则 f'(x)>0，f(x) 单调递增， 若 x∈(ln(2a)，0) ，则 f'(x)<0，f(x) 单调递减， 若 x∈(0，+∞) ，则 f'(x)>0，f(x) 单调递增； 当 a=12 时， f'(x)≥0，f(x) 在 R 上单调递增； 当 a>12 时，若 x∈(−∞，0) ，则 f'(x)>0，f(x) 单调递增， 若 x∈(0，ln(2a)) ，则 f'(x)<0，f(x) 单调递减， 若 x∈(ln(2a)，+∞) ，则 f'(x)>0，f(x) 单调递增； 若选择条件①： 由于 12<a⩽e22 ，故 1<2a≤e2 ，则 b>2a>1，f(0)=b−1>0 ， 而 f(−b)=(−1−b)e−b−ab2−b<0 ， 而函数在区间 (−∞，0) 上单调递增，故函数在区间 (−∞，0) 上有一个零点. f(ln(2a))=2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+b >2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+2a =2aln(2a)−a[ln(2a)]2 =aln(2a)[2−ln(2a)] ， 由于 12<a⩽e22 ， 1<2a≤e2 ，故 aln(2a)[2−ln(2a)]≥0 ， 结合函数的单调性可知函数在区间 (0，+∞) 上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于 0<a<12 ，故 2a<1 ，则 f(0)=b−1≤2a−1<0 ， 当 b≥0 时， e2>4，4a<2 ， f(2)=e2−4a+b>0 ， 而函数在区间 (0，+∞) 上单调递增，故函数在区间 (0，+∞) 上有一个零点. 当 b<0 时，构造函数 H(x)=ex−x−1 ，则 H′(x)=ex−1 ， 当 x∈(−∞，0) 时， H′(x)<0，H(x) 单调递减， 当 x∈(0，+∞) 时， H′(x)>0，H(x) 单调递增， 注意到 H(0)=0 ，故 H(x)≥0 恒成立，从而有： ex≥x+1 ，此时： f(x)=(x−1)ex−ax2−b≥(x−1)(x+1)−ax2+b =(1−a)x2+(b−1) ， 当 x>1−b1−a 时， (1−a)x2+(b−1)>0 ， 取 x0=1−b1−a+1 ，则 f(x0)>0 ， 即： f(0)<0，f(1−b1−a+1)>0 ， 而函数在区间 (0，+∞) 上单调递增，故函数在区间 (0，+∞) 上有一个零点. f(ln(2a))=2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+b ≤2a[ln(2a)−1]−a[ln(2a)]2+2a =2aln(2a)−a[ln(2a)]2 =aln(2a)[2−ln(2a)] ， 由于 0<a<12 ， 0<2a<1 ，故 aln(2a)[2−ln(2a)]<0 ， 结合函数的单调性可知函数在区间 (−∞，0) 上没有零点. 综上可得，题中的结论成立.

查看本题答案和解析