题目

已知数列 满足 （ ，且 ），且 ，设 ， ，数列 满足 . （1） 求证：数列 是等比数列并求出数列 的通项公式； （2） 求数列 的前n项和 ； （3） 对于任意 ， ， 恒成立，求实数m的取值范围. 答案： 解：因为 4an=an−1−3 ， 所以 4an+4=an−1+1 ， an+1=14(an−1+1) ， 所以 {an+1} 是等比数列，其中首项是 a1+1=14 ，公比为 14 ， 所以 an+1=(14)n ， an=(14)n−1 解： bn+2=3log14(an+1)(n∈N*) ， 所以 bn=3n−2 ， 由（1）知， an+1=(14)n ，又 bn=3n−2 ， 所以 cn=(3n−2)×(14)n(n∈N*) . 所以 Sn=1×14+4×(14)2+7×(14)3+⋯+(3n−5)×(14)n−1+(3n−2)×(14)n ， 所以 14Sn=1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4+⋯+(3n−5)×(14)n+(3n−2)×(14)n+1 两式相减得 34Sn=14+3[(14)2+(14)3+⋯+(14)n]−(3n−2)×(14)n+1 =12-(3n+2)×(14)n+1 . 所以 Sn=23-(3n+2)3(14)n 解： cn+1−cn=(3n+1)(14)n+1−(3n−2)(14)n =9(1−n)(14)n+1(n∈N*) ，所以当 n=1 时， c2=c1=14 ， 当 n≥2 时， cn+1<cn ，即 c1=c2>c3>c4>⋯>cn ， 所以当 n=1 或 n=2 时， cn 取最大值是 14 . 只需 14⩽tm2−m−12 ， 即 tm2−m−34⩾0 对于任意 t∈[0,1] 恒成立，即 {m2−m−34≥0,m+34≤0, 所以 m≤-34 .

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