题目

如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，则称这个三角形为“美好三角形”. （1） 等边△ABC的边长为2，△ABC是“美好三角形”吗？请说明理由； （2） 已知Rt△ABC是“美好三角形”，∠C＝90°，AC＝2 ，求BC的长. 答案： 解：△ABC不是“美好三角形”， 理由：如图，作BC边上的中线AD， ∵△ABC是等边三角形，AD是中线， ∴AD⊥BC，AB＝BC＝AC， ∴AD＜AB， ∴AD＜BC， 同理可证，AB边上的中线小于AB，AC边上的中线小于AC， ∴△ABC不是“美好三角形”； 解：①如图，作AC的中线BD，△ABC是“美好三角形”， 当BD＝AC＝2 3 时，CD＝ 12 AC＝ 3 ， 由勾股定理得：BC＝ BD2−CD2 ＝ (23)2−(3)2 ＝3， ②如图，作BC的中线AD，△ABC是“美好三角形”， 当BC＝AD时，CD＝ 12 BC＝ 12 AD， 由勾股定理得：CD2＋AC2＝AD2， ∴CD2＋（2 3 ）2＝AD2， 解得：CD＝2或﹣2（舍去）， ∴BC＝2CD＝4， 综上所述，BC的长为3或4.

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