题目

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B． （1） 线段AB，BC，AC的长分别为AB=，BC=，AC=； （2） 折叠图1中的△ABC，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题．A：①求线段AD的长；②在y轴上，是否存在点P，使得△APD为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．B：①求线段DE的长；②在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】8【2】4【3】4 5 【1】解：A、①由（1）知，BC=4，AB=8，由折叠知，CD=AD．在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根据勾股定理得，CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5；②由①知，D（4，5），设P（0，y）．∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2．∵△APD为等腰三角形，∴分三种情况讨论：Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）；Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y= 52 ，∴P（0， 52 ）；Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．综上所述：P（0，3）或（0，﹣3）或P（0， 52 ）或P（0，2）或（0，8）．B、解：①由A①知，AD=5，由折叠知，AE= 12 AC=2 5 ，DE⊥AC于E．在Rt△ADE中，DE= AD2−AE2 = 5 ；②∵以点A，P，C为顶点的三角形与△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°．∵四边形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此时，符合条件，点P和点O重合，即：P（0，0）；如图3，过点O作ON⊥AC于N，易证，△AON∽△ACO，∴ ANOA=OAAC ，∴ AN4=445 ，∴AN= 455 ，过点N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴ ANAC=NHOC=AHOA ，∴ 45545=NH8=AH4 ，∴NH= 85 ，AH= 45 ，∴OH= 165 ，∴N（ 165，85 ），而点P2与点O关于AC对称，∴P2（ 325，165 ），同理：点B关于AC的对称点P1，同上的方法得，P1（﹣ 125，245 ）．综上所述：满足条件的点P的坐标为：（0，0），（ 325，165 ），（﹣ 125，245 ）．

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