题目

已知矩形OABC的边 ， ， 分别以OC、OA所在直线为x轴，y轴建立如图1所示的平面直角坐标系： （1） 请求出点B关于原点O的对称点的坐标； （2） 如图2，经过点O的直线与边AB交于点P，且点B关于直线OP的对称点D恰好落在y轴上，动点Q从点A出发，沿射线AB以2个单位/秒的速度匀速运动，设的面积为S，点Q运动的时间为t秒，试用含t的式子表示S（不要求写出t的取值范围）； （3） 如图3，在（2）的条件下，设直线OP交BD于M，把线段BD绕点D顺时针旋转90°得线段DE，连接OE，则当t为何值时，以O、E、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？ 答案： 解：∵OA=3，OC=4，∴B(4，3)则B关于原点O的对称点坐标为：(−4，−3) 解：连接DP，OB则△DPM与△BPM关于OP对称，∴PM⊥PD，PD=PB，OD=OB，∵四边形OABC是矩形，∴∠C=∠OAB=90°，OC=AB=4，BC=OA=3，Rt△OBC中OB=OC2+BC2=5，∵AD+OA=AD=OB，∴AD=2，Rt△APD中，AD2+AP2=PD2设BP=DP=x则AP=4−x，∴4+(4−x)2=x2，解得x=52，所以BP=52，AP=32， 当点Q在线段AP上时， 2t≤32，即t≤34时，S△DPQ=12×2×(32−2t)=32−2t，当点Q在射线PB上时，2t>32，即t>34时，S△DPQ=12×2×(2t−32)=2t−32，综上所述，S={32−2t(t≤34)2t−32(t>34)． 解：过点E作EN⊥AD于N，则∠END=90°，由（2）可知，OM⊥DB，由旋转可知DB=DE，∵BA⊥AD∴∠BAD=90°，∵∠EDN+∠DEN=90°，∠EDN+∠BDA=90°，∴∠BDA=∠DEN，∴△DEN≌△BDA，∴EN=AD=2，DN=AB=4，∴ON=AD−DN=5−4=1，∴E(−2，1)，∴OE=xE2+yE2=5，∵M为DB的中点，D(0，5)，B(4，3)，∴M(2，4)，依题意，设点Q(2t，3)，则MQ=(2t−2)2+(3−4)2=(2t−2)2+12，当MQ=OE时，以O、E、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴(2t−2)2+12=5，即(2t−2)2=4，2t−2=±2，解得： t=0或2时，∴当t=0或2时，以O、E、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．

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