题目

综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点 ．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC ， BC ． （1） 求抛物线的解析式； （2） 判断△ABC的形状，并说明理由； （3） 若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN ， 将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为； （4） 抛物线对称轴上是否存在一点F ， 使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标． 答案： 解：∵在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y相等， ∴抛物线的对称轴为x =−4+22=− 1， 又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点， 由对称性可知B(1，0)， ∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)， 将C(0， 3 )代入y=a(x+3)(x﹣1)， 得：﹣3a =3 ， 解得：a =−33 ， ∴此抛物线的解析式为y =−33 (x+3)(x﹣1) =−33 x2 −233 x +3 ； 解：△ABC为直角三角形．理由如下： ∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0， 3 )， ∴OA=3，OB=1，OC =3 ， ∴AB=OA+OB=4，AC =OA2+OC2= 2 3 ，BC =OB2+OC2= 2． ∵AC2+BC2=16，AB2=16， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形； 【1】43【2】(﹣1， 233 ) 解：设直线BC的解析式为y=kx +3 ， 将点B(1，0)代入y=kx +3 ， 得：k =−3 ， ∴直线BC的解析式为y =−3 x +3 ， 由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°． ①如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上， 在y =−3 x +3 中，当x=﹣1时，y=2 3 ， ∴F1(﹣1，2 3 )； ②当∠CAF=90°时，AF∥BC， ∴可设直线AF的解析式为y =−3 x+n， 将点A(﹣3，0)代入y =−3 x+n， 得：n=﹣3 3 ， ∴直线AF的解析式为y =−3 x﹣3 3 ， 在y =−3 x﹣3 3 中，当x=﹣1时，y=﹣2 3 ， ∴F2(﹣1，﹣2 3 )． 综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，2 3 )，F2(﹣1，﹣2 3 )．

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