题目

如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上. 对角线EG、FP相交于点O. （1） 若AP=3，求AE的长； （2） 连接AC，判断点O是否在AC上，并说明理由； （3） 在点P从点A到点B的运动过程中，正方形PEFG也随之运动，求DE的最小值． 答案： 解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，∴∠AEP=∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴ AEBP=APBC ，即 AE4−1=14 ，解得：AE= 34 解：点O在AC上，理由：过点O分别作AD、AB的垂线，垂足分别为M、N，证得OM=ON，证得点O在∠BAD的平分线上，证得AC是∠BAD的平分线，所以，点O在AC上。 解：设AP=x，则BP=4﹣x，由（1）可知：△APE∽△BCP，∴ AEBP=APBC ，即 AE4−x=x4 ，解得：AE=x﹣ 14 x2=﹣ 14 （x﹣2）2+1，∵AE+DE=AD=4，∴DE= 14 （x﹣2）2+3，∴DE的最小值为3.

查看本题答案和解析