题目

已知圆 ,在圆 上存在不同两点 关于直线 对称. （Ⅰ）求 的值; （Ⅱ）当以 为直径的圆经过原点时,求直线 的方程. 答案：解：（Ⅰ）圆C可化为 (x−1)2+(y+2)2=9 ，圆心为C（1，-2） 在圆C上存在两点A,B满足条件， 则圆心C（1，-2）在直线 y=kx−1 上，即 k=−1 （Ⅱ）由（1）可知， kAB=1 ，设 lAB:y=kx+b ， 代入圆C的方程，整理得： 2x2+2(b+1)x+b2+4b−4=0 ， 由 Δ=4(b+1)2−8(b2+4b−4)>0 ，解得 −3−32<b<−3+32   设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2=−b−1,x1x2=12b2+2b−2 由题意知 OA⊥OB ，则有 x1x2+y1y2=0   也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0 2x1x2+b(x1+x2)+b2=0 b2+3b−4=0 得 b=−4或b=1 ,均满足 Δ>0 ,所以 b=−4或b=1 ， 即直线的方程为 x−y−4=0 或 x−y+1=0

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