题目

设函数 ， 其中. （1） 当时，讨论函数的单调性； （2） 若对任意 ， 恒成立，求的取值范围. 答案： 解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=12x2+alnx−(a+1)x，所以f′(x)=x+ax−(a+1)=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x，因为a>0，令f′(x)=0，得x=1或x=a，①当0<a<1时，则当由f′(x)>0，得0<x<a或x>1；由f′(x)<0，得a<x<1所以f(x)在区间(0，a)和(1，+∞)单调递增，在区间(a，1)单调递减；②当a=1时，f′(x)=(x−1)2x⩾0在(0，+∞)恒成立，所以f(x)在(0，+∞)单调递增；③当a>1时，则由f′(x)>0，得0<x<1或x>a；由f′(x)<0，得1<x<a，所以f(x)在区间(0，1)和(a，+∞)单调递增，在区间(1，a)单调递减；综上所述：当0<a<1时，f(x)在区间(0，a)和(1，+∞)单调递增，在区间(a，1)单调递减；当a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在区间(0，1)和(a，+∞)单调递增，在区间(1，a)单调递减； 解：对任意x1>x2>1，f(x1)−f(x2)x1−x2>−1恒成立等价于对任意x1>x2>1，f(x1)+x1>f(x2)+x2恒成立，设函数g(x)=f(x)+x，则上式等价于g(x)在区间(1，+∞)上单调递增，即g′(x)=x+ax−a⩾0，从而a⩽x2x−1在(1，+∞)恒成立，令h(x)=x2x−1，则h′(x)=x2−2x(x−1)2=x(x−2)(x−1)2，令h′(x)>0，解得x>2；令h′(x)<0，解得1<x<2，故h(x)在(1，2)单调递减；在(2，+∞)单调递增，所以a⩽h(x)min=h(2)=4所以a的取值范围是(−∞，4].

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