题目

已知抛物线 ： ， 是坐标原点， 是 的焦点， 是 上一点， ， ． （1） 求 的标准方程； （2） 设点 在 上，过 作两条互相垂直的直线 ， ，分别交 于 ， 两点（异于 点）．证明：直线 恒过定点． 答案： 解：由 |FM|=4 ， ∠OFM=120° ，可得 M(p2+2，±23) ， 代入 C ： 12=2p(p2+2)=p2+4p ． 解得 p=2 或 p=−6 （舍），从而 C ： y2=4x 解：由题意可得 Q(1，2) ，直线 AB 的斜率不为0，设直线 AB 的方程为 x=my+n ， 设 A(x1，y1) ， B(x2，y2) ， 由 {y2=4xx=my+n ，得 y2−4my−4n=0 ，从而 16m2+16n>0 ， 且 y1+y2=4m ， y1y2=−4n ． 又 x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n ， x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2 ， ∵ QA→⊥QB→ ∴ QA→⋅QB→=(x1−1)(x2−1)+(y1−2)(y2−2)=0 ， 故 x1x2−(x1+x2)+1+y1y2−2(y1+y2)+4=0 ， 整理得 n2−4m2−6n−8m+5=0 ． 即 (n−3)2=4(m+1)2 ， 从而 n−3=2(m+1) 或 n−3=−2(m+1) ，即 n=2m+5 或 n=−2m+1 ． 若 n=−2m+1 ，则 x=my+n=my−2m+1=m(y−2)+1 ，过定点 (1，2) ，与 Q 点重合，不符合： 若 n=2m+5 ，则 x=my+n=my+2m+5=m(y+2)+5 ，过定点 (5，−2) ． 综上，直线 AB 过异于 Q 点的定点 (5，−2) ．

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