题目

已知函数 ． （1） 讨论函数的零点个数； （2） 若函数存在两个不同的零点 ， 证明： ． 答案： 解：因为f'(x)=2x−ax=2x2−ax(x>0) ①当a≤0，f(x)>0，函数f(x)在区间(0，+∞)单调递增， （i）a=0时，函数f(x)在(0，+∞)上无零点； （ii）a<0，由x→0时，f(x)→−∞，f(e)=e2−a>0， ∴f(x)在(0，+∞)只有一个零点； ②当a>0时，函数f(x)在区间(0，a2)上单调递减，在区间(a2，+∞)上单调递增；（注意x→0时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞） 所以f(x)≥f(a2)=a2−alna2=a2(1−lna2)， （i）f(a2)>0即0<a<2e时，f(x)无零点； （ii）f(a2)=0，即a=2e时，f(x)只有一个零点； （iii）f(a2)<0即a=2e时，f(x)有两个零点； 综上所述，当a<0或a=2e时，f(x)在只有一个零点；当0≤a<2e时，f(x)无零点；当a>2e时，f(x)有两个零点； 方法二：a=0时，函数f(x)=x2在(0，+∞)上无零点； a≠0时，由f(x)=0⇒1a=lnxx2，令g(x)=lnxx2，则g'(x)=1−2lnxx3(x>0)， 由g'(x)=1−2lnxx3=0⇒x=e， 则x∈(0，e)时，g(x)单调递增， x∈(e，+∞)时，g(x)单调递减， 则g(x)≤g(e)=12e， 做出简图，由图可知： （注意：x→0时，g(x)→−∞，x→+∞时g(x)→0） 当1a<0或1a=2e，即a<0或a=2e时，1a=lnxx2只有一个根， 即f(x)在(0，+∞)只有一个零点； 当0<1a<12e时，即a>2e时，1a=lnxx2有两个根，即f(x)在(0，+∞)有两个零点； 当1a>12e时，即0<a<2e时，1a=lnxx2无实根，即f(x)在(0，+∞)无零点； 综上所述，当a<0或a=2e时，f(x)在只有一个零点； 当0≤a<2e时，f(x)无零点； 当a>2e时，f(x)有两个零点； 解：由（1）可知a>2e时，f(x)有两个零点，设两个零点分别为x1，x2，且x2>x1>0， 由f(x1)=f(x2)=0⇒{x12−alnx1=0x22−alnx2=0，即{x12=alnx1x22=alnx2， 所以x12+x22=a(lnx1+lnx2)，x22−x12=a(lnx2−lnx1)， 即lnx2+lnx1=lnx2−lnx1x22−x12(x12+x22) 要证明x1x2>e，即证lnx1+lnx2>1，需证lnx2+lnx1x22−x12(x12+x22)>1， 再证lnx2−lnx1>x22−x12x22+x12，然后证lnx2x1−(x2x1)2−1(x2x1)2+1>0， 设x2x1=x，则x>1，即证lnx−x2−1x2+1>0，即lnx+2x2+1−1>0， 令h(x)=lnx+2x2+1−1(x>1)， 则h'(x)=1x−4x(x2+1)2=(x2+1)2−4x2x(x2+1)2=(x2−1)2x(x2+1)2>0， 故函数h(x)在(1，+∞)上单调递增，所以h(x)>h(1)=0，即有lnx+2x2+1−1>0， 所以x1x2>e．

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