题目

如图，矩形ABCD中，AD=10，CD=15，E是边CD上一点，且DE=5，P是射线AD上一动点，过A，P，E三点的⊙O交直线AB于点F，连结PE，EF，PF，设AP=m． （1） 当m=6时，求AF的长． （2） 在点P的整个运动过程中． ①tan∠PFE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围． ②当矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上时，求m的值． （3） 若点A，H关于点O成中心对称，连结EH，CH．当△CEH是等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值．（直接写出答案即可） 答案： 解：如图1中，连接AE． 在Rt△DPE中，∵DE=5，DP=AD﹣AP=4， ∴PE= 52+42 = 41 ， 在Rt△ADE中，AE= AD2+DE2 =5 5 ， ∵∠PAF=90°， ∴PF是⊙O的直径， ∴∠PEF=∠ADF=90°， ∵∠DAE=∠PFE， ∴△ADE∽△FEP， ∴ DEPE = AEPF ， ∴ 541 = 55PF ， ∴PF= 205 ， 在Rt△PAF中，AF= PF2−PA2 = 205−36 =13． 解：①tan∠PFE的值不变． 理由：如图1中，∵∠PFE=∠DAE， ∴tan∠PFE=tan∠DAF= DEAD = 12 ． ②如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时m=10． 如图3中，当⊙O经过A、B时， 在Rt△BCE中，BE= EC2+CB2 =10 2 ， ∵tan∠PFE= 12 ， ∴PE=5 2 ， ∴PD= PE2−DE2 =5， ∴m=PA=5． 如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M． 根据对称性可知，DE=CM=BF=5， 在Rt△EFM中，EF= 152+102 =5 13 ， ∴PE= 12 EF= 5132 ， ∴PD= PE2−DE2 = 152 ， ∴m=AD﹣PD= 52 ， 综上所述，m=10或5或 52 时，矩形ABCD恰好有2个顶点落在⊙O上 解：如图5中，当EC=CH时，根据对称性可知：PE=CH=EC=10，PD= 102−52 =5 3 ， ∴m=10﹣5 3 ． 如图6中当EC=EH=10时，  在Rt△AEH中，AH= AE2+EH2 = (55)2+102 =5 13 ， 易知PF=AH=5 13 ， ∵∴∴PE：EF：PF=1：2： 5 ， ∴PE= 65 ， 在Rt△PDE中，DP= 65−25 =2 10 ， ∴m=PA=AD﹣PD=10﹣2 10 ． 如图7中当HC=HE时，延长FH交CD于M，则EM=CM=BF=5，HM= 103 ， ∴m=PA=HF=10﹣ 103 = 203 ． 如图8中，当EH=EC时， PF=AH= EH2+AE2 = 102+(510)2 =5 14 ， ∵PE：EF：PF=1：2： 5 ， ∴PE= 70 ， 在Rt△PDE中，PD= 70−25 =3 5 ， ∴m=PA=AD+PD=10+3 5 ， 综上所述，满足条件的m的值为10﹣5 3 或10﹣2 10 或 203 或10+3 5 ．

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