题目

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1） 试判断方程 是否为 “勾系一元二次方程”； （2） 求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根； （3） 若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积． 答案： 解： ∵a=1，b=1 ∴c=2， ∴2c=2×2=2 ∴ 方程 x2+2x+1=0 是“勾系一元二次方程”. 证明：由题意，得△＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ 2 cx+b＝0必有实数根； 解：当x＝﹣1时，有a﹣ 2 c+b＝0，即a+b＝ 2 c， ∵2（a+b）+ 2 c＝12，∴c＝2 2 ，∴a+b＝4， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16∴ab＝4，∴S△ABC＝ 12 ab＝2．

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