题目

如图，在四棱锥中，平面，，，，．过点做四棱锥的截面，分别交，，于点，已知，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．答案：解：（Ⅰ）证明：在 PC 上取点H，且满足 PH:PC=2:3 ，连接 GH ， HD ，则 GH//BC ，且 GH=23BC=2 ，因为 AD//BC ，所以 AD//GH ，且 AD=GH 所以 ADHG 是平行四边形，所以 AG//HD ，又因为 HD⊂ 平面 PCD ， AG⊄ 平面 PCD ，所以 AG∥ 平面 PCD ；（Ⅱ）过点A作与 DC 平行的射线l，易证两两垂直，所以以l为x轴，以 AD 为y轴， AP 为z轴，建立空间直角坐标系 O−xyz ，如图，则有 P(0,0,2),C(2,2,0),G(43,−23,23),E(0,1,1) ，设平面 AEFG 的法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {43x−23y+23z=0y+z=0 ，令 z=1 ，解得 {x=−1y=−1z=1 所以 n→=(−1,−1,1) 是平面 AEFG 的一个法向量因为点 F 在 PC 上，所以 AF→=λAC→+(1−λ)AP→=(2λ,2λ,2−2λ) 因为 AF⊂ 平面 AEFG ，所以 AF→⋅n→=−2λ−2λ+2−2λ=0 ，解得 λ=13 ，所以 AF→=(23,23,43) 或如下证法：因为 AG∥ 平面 PCD 且平面 AGFE∩ 平面 PCD=EF ，所以 AG//EF ，所以 EF//HD ，因为 E 为 PD 中点，所以 F 为 PH 中点，所以 PF=13PC ，所以 F(23,23,43) ， AF→=(23,23,43) 设平面 PAB 的法向量为 n1→=(x1,y1,z1) ，则 {z1=02x1−y1=0 ，令 x1=1 ，解得 {x1=1y1=2z1=0 所以 n1→=(1,2,0) 是平面 PAB 的一个法向量， cos<AF→,n1→>=3010 ，所以 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值为 3010 ．

数学试题推荐

数学试卷推荐