题目

如图，在中，，以为直径作⊙ ，在⊙ 上一点D，．（1）求证：是⊙ 的切线；（2）过D作分别与、和⊙ 交于点P、E、F，若，． ①求⊙O的半径长； ②直接写出的长．答案：证明：如图，连接 OD 、 CD ， ∵AD=AC ， ∴∠ADC=∠ACD ， ∵OD=OC ， ∴∠ODC=∠OCD ， ∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD ，即 ∠ADO=∠ACB ， ∵CB 是 ⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的切线， ∴BC⊥AC ， ∴∠ADO=∠ACB=90° ， ∴AD 为 ⊙O 的切线；解：①∵在 Rt△BEF 中， tan∠BFD=BEEF=12 ． ∴ EF=2BE ，又∵ BE2+EF2=BF2 ， BF=25 , ∴ BE=2 ， EF=4 ， ∵ DB⌢=BD⌢ ， ∴ ∠BCD=∠BFD ， ∴ tan∠BCD=tan∠BFD=12 ，即 tan∠BCD=DECF=12 ， ∴ CE=2DE ，又 ∵CB 是 ⊙O 的直径， DF⊥BC ， ∴ DE=EF ， ∴ CE=2DE=2EF=8 ⊙O的半径长 r=12BC=12(CE+BE)=5 ， ② PE=2 , 求解如下：连接AO， ∵ AC 、 AD 是圆的切线， ∴ ∠ACO=12∠ACD ， ∴ AO⊥CD ， ∴ ∠CAO+∠ACD=90° ， ∵∠ACB=90° ，即： ∠ACD+∠DCB=90° ∴∠CAO=∠DCB ， ∴ tan∠CAO=tan∠BCD=12 ，即 tan∠CAO=COAC=12 ， ∵ CO=r=5 ∴ AC=2CO=10 ；又∴ tan∠ABC=ACBC=PEBE=1 ， ∴ PE=BE=2 ．

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