题目

如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. （1） 求证：△AMB≌△ENB； （2） ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； （3） 当AM＋BM＋CM的最小值为 时，求正方形的边长. 答案： 证明：∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°， ∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS） 解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小 ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN. ∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN. ∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长 解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝ 32 x，EF＝ x2 . 在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2， ∴（ x2 ）2＋（ 32 x＋x）2＝ (3+1)2 解得，x＝ 2 （舍去负值）. ∴正方形的边长为 2 .

查看本题答案和解析