题目

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ ．（1）如图1，求证：AP＝BQ；（2）如图2，当PQ⊥BQ时，求AP的长；（3）如田3，设射线AP与射线BQ相交于点E ，连接EC ，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系，并简述理由．答案：证明：∵CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ， ∴PA＝BQ 解：如图2中，作CH⊥PQ于H． ∵PQ⊥BQ， ∴∠PQB＝90°， ∵∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴∠CQB＝135°， ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠APC＝∠CQB＝135°， ∴∠APC＋∠CPQ＝180°， ∴A、P、Q共线， ∵PC＝2， ∴CH＝PH＝ 2 ，在Rt△ACH中，AH＝ AC2−CH2 = 42−(2)2=14 ， ∴PA＝AH−PH＝ 14−2 解：结论：EP＋EQ＝ 2 EC或EP-EQ＝ 2 EC．理由：①当点E在线段BQ上时，如图3中，作CM⊥BQ于M，CN⊥EP于N，设BC交AE于O． ∵△ACP≌△BCQ， ∴∠CAO＝∠OBE， ∵∠AOC＝∠BOE， ∴∠OEB＝∠ACO＝90°， ∵∠M＝∠CNE＝∠MEN＝90°， ∴∠MCN＝∠PCQ＝90°， ∴∠PCN＝∠QCM， ∵PC＝CQ，∠CNP＝∠M＝90°， ∴△CNP≌△CMQ， ∴CN＝CM，QM＝PN， ∵CE＝CE， ∴△CEM≌△CEN， ∴EN＝EM，∠CEM＝∠CEN＝45° ∴EP＋EQ＝EN＋PN＋EM−MQ＝2EN，EC＝ 2 EN， ∴EP＋EQ＝ 2 EC． ②当点E在BQ的延长线上时，同法可得：EP−EQ＝ 2 EC．综上所述：EP＋EQ＝ 2 EC或EP-EQ＝ 2 EC．

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